Parità put-call

Che cos'è la parità put-call?

Il teorema di parità put-call afferma che il premio (prezzo) di un'opzione call implica un certo prezzo equo per le opzioni put corrispondenti, a condizione che le opzioni put abbiano lo stesso prezzo di esercizio, sottostante e scadenza e viceversa. Mostra anche la relazione a tre lati tra una chiamata, una put e la sicurezza sottostante. La teoria fu identificata per la prima volta da Hans Stoll nel 1969.

Esempio di parità put-call

Diamo un'occhiata a due portafogli di un investitore:

Portafoglio A: un'opzione call europea per un prezzo di esercizio di $ 500 / - che ha un premio o un prezzo di $ 80 / - e non paga dividendi (l'impatto del dividendo è discusso più avanti nel documento) e un'obbligazione zero coupon (che paga solo capitale al momento della scadenza) che paga Rs.500 / - (o il prezzo di esercizio delle opzioni call) alla scadenza e,

Portafoglio B: azioni sottostanti su cui sono vendute opzioni call e opzioni put europee con un prezzo di esercizio identico di $ 500 / - che ha un premio di $ 80 / - e una scadenza identica.

Per calcolare i pay-off di entrambi i portafogli, consideriamo due scenari:

1. Il prezzo delle azioni sale e chiude a $ 600 / - al momento della scadenza di un contratto di opzione,
2. Il prezzo delle azioni è sceso e chiude a $ 400 / - al momento della scadenza di un contratto di opzione. 

Impatto sul portafoglio A nello scenario 1: il portafoglio A varrà l'obbligazione zero coupon, ovvero $ 500 / - più $ 100 / - dal pay-off delle opzioni call, ovvero max (S _T -X, 0). Pertanto, il portafoglio A varrà il prezzo dell'azione (S _T ) al tempo T.

Impatto sul portafoglio A nello scenario 2: il portafoglio A varrà il prezzo dell'azione, ovvero $ 500 / - poiché il prezzo dell'azione è inferiore al prezzo di esercizio (è out of the money), le opzioni non verranno esercitate. Quindi, il portafoglio A varrà il prezzo delle azioni (S _T ) al tempo T.

Allo stesso modo, per il portafoglio B, analizzeremo l'impatto di entrambi gli scenari.

Impatto sul portafoglio B nello scenario 1: il portafoglio B varrà il prezzo delle azioni o delle azioni, ovvero $ 600 / - poiché il prezzo delle azioni è inferiore al prezzo di esercizio (X) e non vale la pena esercitarlo. Pertanto, il portafoglio B varrà il prezzo dell'azione (S _T ) al momento T.

Impatto sul portafoglio B nello scenario 2: il portafoglio B varrà la differenza tra il prezzo di esercizio e il prezzo dell'azione, ovvero $ 100 / - e il prezzo dell'azione sottostante, ovvero $ 400 / -. Quindi, il portafoglio B varrà un prezzo di esercizio (X) al momento T.

I risultati di cui sopra sono riassunti di seguito nella Tabella 1.

Tabella 1

* Il pay-off di un'opzione call = max (S _T -X, 0)

# Il pay-off di un'opzione put = max (X- S _T , 0)

Nella tabella sopra possiamo riassumere i nostri risultati che quando il prezzo delle azioni è superiore al prezzo di esercizio (X), i portafogli valgono il prezzo dell'azione o dell'azione (S _T ) e quando il prezzo dell'azione è inferiore al prezzo di esercizio, il i portafogli valgono il prezzo di esercizio (X). In altre parole, entrambi i portafogli valgono max (S _T , X).

Portafoglio A: Quando, S _T > X, vale S _T ,

Portafoglio B: Quando, S _T <X, vale X

Poiché entrambi i portafogli hanno valori identici al tempo T, devono, quindi, avere oggi valori simili o identici (essendo le opzioni europee, non possono essere esercitate prima del tempo T). E se questo non è vero, un arbitraggio sfrutterà questa opportunità di arbitraggio acquistando il portafoglio più economico e vendendo quello più costoso e registrerebbe un profitto di arbitraggio (privo di rischio).

Questo ci porta alla conclusione che oggi il portafoglio A dovrebbe essere uguale al portafoglio B. o,

C ₀ + X * er * t = P ₀ + S ₀

Opportunità di arbitraggio tramite parità put-call

Facciamo un esempio per capire l'opportunità di arbitraggio attraverso la parità put-call.

Supponiamo che il prezzo delle azioni di una società sia $ 80 / -, il prezzo di esercizio sia $ 100 / -, il premio (prezzo) di un'opzione call di sei mesi sia $ 5 / - e quello di un'opzione put sia $ 3,5 / -. Il tasso privo di rischio nell'economia è dell'8% all'anno.

Ora, secondo l'equazione di cui sopra della parità put-call, il valore della combinazione del prezzo dell'opzione call e del valore attuale dello strike sarebbe,

C ₀ + X * e -r * t = 5 + 100 * e-0,08 * 0,5

= 101.08

E il valore della combinazione di put option e prezzo delle azioni è

P ₀ + S ₀ = 3,5 + 80

= 83,5

Qui, possiamo vedere che il primo portafoglio è troppo caro e può essere venduto (un arbitraggio può creare una posizione corta in questo portafoglio) e il secondo portafoglio è relativamente più economico e può essere acquistato (l'arbitraggio può creare una posizione lunga) dall'investitore in per sfruttare le opportunità di arbitraggio.

Questa opportunità di arbitraggio implica l'acquisto di un'opzione put e una quota della società e la vendita di un'opzione call.

Andiamo oltre, riducendo l'opzione call e creando una posizione lunga in opzione put insieme ad azioni richiederebbe che i fondi calcolati al di sotto siano presi in prestito da un arbitraggio a un tasso privo di rischio, ad es.

= -5 + 3,5 + 80

= 78,5

Quindi, un importo di $ 78,5 sarebbe preso in prestito dall'arbitraggio e dopo sei mesi deve essere rimborsato. Quindi, l'importo del rimborso sarebbe

= 78,5 * e 0,08 * 0,5

= 81,70

Inoltre, dopo sei mesi l'opzione put o call sarebbe in the money e verrà esercitata e l'arbitraggio riceverà $ 100 / - da questo. La posizione dell'opzione put call corta e call lunga porterebbe quindi alla vendita del titolo per $ 100 / -. Quindi, l'utile netto generato dall'arbitraggio è

= 100 - 81,70

= $ 18,30

I flussi di cassa di cui sopra sono riassunti nella Tabella 2:

Tavolo 2

L'altro lato della parità Put-Call

Il teorema di parità put-call vale solo per le opzioni in stile europeo poiché le opzioni in stile americano possono essere esercitate in qualsiasi momento prima della sua scadenza.

L'equazione che abbiamo studiato finora è

C ₀ + X * e -r * t = P ₀ + S ₀

Questa equazione è anche chiamata Fiduciary Call è uguale a Protective Put.

Qui, il lato sinistro dell'equazione è chiamato Fiduciary Call perché, nella strategia fiduciary call, un investitore limita il costo associato all'esercizio dell'opzione call (per quanto riguarda la commissione per la successiva vendita di un sottostante che è stato fisicamente consegnato se la call viene esercitata ).

Il lato destro dell'equazione è chiamato Put protettivo perché in una strategia di put protettivo un investitore sta acquistando un'opzione put insieme a una quota (P ₀ + S ₀ ). Nel caso in cui i prezzi delle azioni salissero, l'investitore può comunque ridurre al minimo il proprio rischio finanziario vendendo azioni della società e proteggendo il proprio portafoglio e nel caso in cui i prezzi delle azioni scendessero può chiudere la sua posizione esercitando l'opzione put.

Ad esempio : -

Supponiamo che il prezzo di esercizio sia $ 70 / -, il prezzo delle azioni sia $ 50 / -, il premio per l'opzione Put sia $ 5 / - e quello dell'opzione Call sia $ 15 / -. E supponiamo che il prezzo delle azioni salga a $ 77 / -.

In questo caso, l'investitore non eserciterà la sua opzione put poiché la stessa è out of the money ma venderà la sua quota al prezzo di mercato corrente (CMP) e guadagnerà la differenza tra CMP e il prezzo iniziale del titolo, ovvero Rs.7 / -. Se l'investitore non avesse acquistato il calzino insieme all'opzione put, sarebbe finito per incorrere nella perdita del suo premio per l'acquisto dell'opzione.

Determinazione delle opzioni Call e del premio delle opzioni Put

Possiamo riscrivere l'equazione di cui sopra in due modi diversi come indicato di seguito.

• P ₀ = C ₀ + X * e -r * t -S e
• C ₀ = P ₀ + S ₀ -X * e -r * t

In questo modo, possiamo determinare il prezzo di un'opzione call e di un'opzione put.

Ad esempio, supponiamo che il prezzo di una società XYZ sia scambiato a Rs.750 / - il premio dell'opzione call di sei mesi è Rs.15 / - per il prezzo di esercizio di Rs.800 / -. Quale sarebbe il premio per l'opzione put assumendo un tasso privo di rischio del 10%?

Secondo l'equazione di cui sopra al punto n. 1,

P ₀ = C ₀ + X * e -r * t -S

= 15 + 800 * e-0,10 * 0,05-750

= 25,98

Allo stesso modo, supponiamo che nell'esempio precedente il premio dell'opzione put sia dato come $ 50 invece del premio dell'opzione call e dobbiamo determinare il premio dell'opzione call.

C ₀ = P ₀ + S ₀ -X * e -r * t

= 50 + 750-800 * e-0,10 * 0,05

= 39,02

Impatto dei dividendi sulla parità put-call

Finora nei nostri studi, abbiamo ipotizzato che non ci siano dividendi pagati sul titolo. Pertanto, la cosa successiva che dobbiamo prendere in considerazione è l'impatto del dividendo sulla parità put-call.

Poiché l'interesse è un costo per un investitore che prende in prestito fondi per acquistare azioni e beneficia l'investitore che mette in corto il titolo oi titoli investendo i fondi.

Qui esamineremo come l'equazione di parità Put-Call verrebbe modificata se il titolo pagasse un dividendo. Inoltre, assumiamo che il dividendo pagato durante la durata dell'opzione sia noto.

In questo caso, l'equazione sarebbe aggiustata con il valore attuale del dividendo. E insieme al premio dell'opzione call, l'importo totale che l'investitore deve investire è equivalente in contanti al valore attuale di un'obbligazione zero coupon (che è equivalente al prezzo di esercizio) e al valore attuale del dividendo. In questo caso, stiamo apportando un adeguamento alla strategia di chiamata fiduciaria. L'equazione corretta sarebbe

C ₀ + (D + X * e -r * t ) = P ₀ + S ₀  dove,

D = Valore attuale dei dividendi durante la vita di

Regoliamo l'equazione per entrambi gli scenari.

Ad esempio, supponiamo che il titolo paghi $ 50 / - come dividendo, quindi il premio dell'opzione put corretto sarebbe

P ₀ = C ₀ + (D + X * e -r * t ) - S ₀

   = 15+ (50 * e-0,10 * 0,5 + 800 * e-0,10 * 0,5) -750

= 73,54

Possiamo anche aggiustare i dividendi in un altro modo che produrrà lo stesso valore. L'unica differenza fondamentale tra questi due modi è che mentre nel primo abbiamo aggiunto l'importo del dividendo al prezzo di esercizio, nell'altro abbiamo rettificato l'importo dei dividendi direttamente dal titolo.

P ₀ = C ₀ + X * e -r * t - S ₀ - (S ₀ * e -r * t ),

Nella formula sopra, abbiamo dedotto l'importo del dividendo (PV dei dividendi) direttamente dal prezzo delle azioni. Diamo un'occhiata al calcolo attraverso questa formula

= 15 + 800 * e-0,10 * 0,5-750- (50 * e-0,10 * 0,5)

= 73,54

Osservazioni conclusive

• La parità put-call stabilisce la relazione tra i prezzi delle opzioni put europee e le opzioni call aventi gli stessi prezzi di esercizio, scadenza e sottostante.
• Put-Call Parity non vale per l'opzione americana in quanto un'opzione americana può essere esercitata in qualsiasi momento prima della sua scadenza.
• L'equazione per la parità put-call è C ₀ + X * er * t = P ₀ + S ₀ .
• A parità di put-call, la Call Fiduciaria è uguale alla Put Protettiva.
• L'equazione di parità put-call può essere utilizzata per determinare il prezzo delle opzioni call e put europee
• L'equazione di parità put-call viene corretta se il titolo paga dividendi.