Formula per calcolare la distribuzione binomiale
La formula di distribuzione binomiale viene utilizzata per calcolare la probabilità di ottenere x successi nelle n prove dell'esperimento binomiale che sono indipendenti e la probabilità è derivata dalla combinazione tra il numero delle prove e il numero di successi rappresentato da nCx viene moltiplicata per la probabilità del successo ottenuto a potenza di numero di successi rappresentato da px che è ulteriormente moltiplicato per probabilità del fallimento elevato a potenza di differenza tra numero di successi e numero di prove rappresentato da (1-p) nx.
La probabilità di ottenere x successi in n prove indipendenti di un esperimento binomiale è data dalla seguente formula di distribuzione binomiale:
P (X) = n C x px (1-p) nx
dove p è la probabilità di successo
Nell'equazione precedente, viene utilizzato n C x , che non è altro che formula di combinazioni. La formula per calcolare le combinazioni è data come n C x = n! / X! (nx)! dove n rappresenta il numero di elementi (prove indipendenti) e x rappresenta il numero di elementi scelti alla volta (successi).
Nel caso n = 1 in una distribuzione binomiale, la distribuzione è nota come distribuzione di Bernoulli. La media di una distribuzione binomiale è np. La varianza della distribuzione binomiale è np (1-p).
Calcolo della distribuzione binomiale (passo dopo passo)
Il calcolo della distribuzione binomiale può essere derivato utilizzando i seguenti quattro semplici passaggi:
- Passaggio 1: calcola la combinazione tra il numero di prove e il numero di successi. La formula per n C x è dove n! = n * (n-1) * (n-2). . . * 2 * 1. Per un numero n, il fattoriale di n può essere scritto come, n! = n * (n-1)! Ad esempio, 5! è 5 * 4 * 3 * 2 * 1
- Passaggio 2: Calcola la probabilità di successo elevata alla potenza del numero di successi che sono px.
- Passaggio 3: Calcola la probabilità di fallimento elevata alla potenza della differenza tra il numero di successi e il numero di prove. La probabilità di fallimento è 1-p. Quindi, questo si riferisce all'ottenimento di (1-p) nx
- Passaggio 4: scoprire il prodotto dei risultati ottenuti nei passaggi 1, 2 e 3.
Esempi
Puoi scaricare questo modello Excel della formula di distribuzione binomiale qui - Modello Excel della formula di distribuzione binomialeEsempio 1
Il numero di prove (n) è 10. La probabilità di successo (p) è 0,5. Calcola la distribuzione binomiale per calcolare la probabilità di ottenere esattamente 6 successi.
Soluzione:
Utilizzare i seguenti dati per il calcolo della distribuzione binomiale.
Il calcolo della distribuzione binomiale può essere eseguito come segue,
P (x = 6) = 10 C 6 * (0,5) 6 (1-0,5) 10-6
= (10! / 6! (10-6)!) * 0,015625 * (0,5) 4
= 210 * 0,015625 * 0,0625
Probabilità di ottenere esattamente 6 successi sarà-
P (x = 6) = 0,205
La probabilità di ottenere esattamente 6 successi è 0,2051
Esempio n. 2
Il dirigente di una compagnia di assicurazioni esamina i dati delle polizze assicurative vendute dai venditori di assicurazioni che lavorano sotto di lui. Scopre che l'80% delle persone che acquistano un'assicurazione auto sono uomini. Vuole scoprire che se 8 proprietari di assicurazioni auto vengono selezionati casualmente, quale sarebbe la probabilità che esattamente 5 di loro siano uomini.
Soluzione: dobbiamo prima scoprire cosa sono n, p e x.
Il calcolo della distribuzione binomiale può essere eseguito come segue,
P (x = 5) = 8 C 5 * (0,8) 5 (1-0,8) 8-5
= (8! / 5! (8-5)!) * 0,32768 * (0,2) 3
= 56 * 0,32768 * 0,008
Probabilità di esattamente 5 successi sarà-
P (x = 5) = 0,14680064
La probabilità che esattamente 5 titolari di assicurazioni auto siano uomini è 0,14680064.
Esempio n. 3
La direzione dell'ospedale è entusiasta dell'introduzione di un nuovo farmaco per il trattamento dei malati di cancro poiché la possibilità che una persona venga trattata con successo da esso è molto alta. La probabilità che un paziente venga trattato con successo dal farmaco è 0,8. Il farmaco viene somministrato a 10 pazienti. Trova la probabilità che 9 o più pazienti vengano trattati con successo da esso.
Soluzione: dobbiamo prima scoprire cosa sono n, pe x.
Dobbiamo trovare la probabilità che 9 o più pazienti vengano trattati con successo da esso. Pertanto, 9 o 10 pazienti vengono trattati con successo da esso
x (numero per il quale devi trovare probabilità) = 9 o x = 10
Dobbiamo trovare P (9) e P (10)
Il calcolo della distribuzione binomiale per trovare P (x = 9) può essere fatto come segue,
P (x = 9) = 10 C 9 * (0,8) 9 (1-0,8) 10-9
= (10! / 9! (10-9)!) * 0,134217728 * (0,2)
= 10 * 0,134217728 * 0,2
La probabilità di 9 pazienti sarà-
P (x = 9) = 0,2684
Il calcolo della distribuzione binomiale per trovare P (x = 10) può essere fatto come segue,
P (x = 10) = 10 C 10 * (0,8) 10 (1-0,8) 10-10
= (10! / 10! (10-10)!) * 0,107374182 * (0,2) 0
= 1 * 0,107374182 *
La probabilità di 10 pazienti sarà-
P (x = 10) = 0,1074
Pertanto, P (x = 9) + P (x = 10) = 0,268 + 0,1074
= 0,3758
Pertanto, la probabilità che 9 o più pazienti vengano trattati con il farmaco è 0,375809638.
Calcolatore di distribuzione binomiale
È possibile utilizzare il seguente calcolatore di distribuzione binomiale.
| n | |
| p | |
| X | |
| Formula di distribuzione binomiale = | |
| Formula di distribuzione binomiale = | n C x * px * (1 -p) nx | |
| 0 C 0 * 0 0 * (1 - 0) 0 - 0 = | 0 |
Rilevanza e utilizzo
- Ci sono solo due risultati
- La probabilità di ogni risultato rimane costante da un processo all'altro
- C'è un numero fisso di prove
- Ogni studio è indipendente, vale a dire che si esclude a vicenda dagli altri
- Ci fornisce la distribuzione di frequenza del numero possibile di esiti positivi in un dato numero di prove in cui ciascuna di queste prove ha la stessa probabilità di successo.
- Ogni prova in un esperimento binomiale può portare a solo due possibili risultati. Quindi, il nome è "binomiale". Uno di questi risultati è noto come successo e l'altro come fallimento. Ad esempio, le persone che sono malate possono rispondere o meno a un trattamento.
- Allo stesso modo, quando lanciamo una moneta, possiamo avere solo due tipi di risultati: testa o croce. La distribuzione binomiale è una distribuzione discreta utilizzata nelle statistiche, che è diversa da una distribuzione continua.
Un esempio di esperimento binomiale è lanciare una moneta, diciamo tre volte. Quando lanciamo una moneta, sono possibili solo 2 risultati: testa e croce. La probabilità di ogni risultato è 0,5. Poiché la moneta viene lanciata tre volte, il numero di tentativi è fissato a 3. La probabilità di ogni lancio non è influenzata da altri lanci.
La distribuzione binomiale trova le sue applicazioni nelle statistiche delle scienze sociali. Viene utilizzato per lo sviluppo di modelli per variabili di risultato dicotomiche in cui sono presenti due risultati. Un esempio di questo è se repubblicani o democratici vinceranno le elezioni.
Formula di distribuzione binomiale in Excel (con modello excel)
Saurabh ha imparato a conoscere l'equazione di distribuzione binomiale a scuola. Vuole discutere il concetto con sua sorella e fare una scommessa con lei. Ha pensato che avrebbe lanciato una moneta imparziale 10 volte. Vuole scommettere $ 100 per ottenere esattamente 5 croci in 10 lanci. Ai fini di questa scommessa, vuole calcolare la probabilità di ottenere esattamente 5 croci in 10 lanci.
Soluzione: dobbiamo prima scoprire cosa sono n, pe x.
C'è una formula incorporata per la distribuzione binomiale è Excel che è
È DISTRIB.BINOM (numero di successi, prove, probabilità di successo, FALSE).
Per questo esempio di distribuzione binomiale sarebbe:
= DISTRIB.BINOM (B2, B3, B4, FALSE) dove la cella B2 rappresenta il numero di successi, la cella B3 rappresenta il numero di prove e la cella B4 rappresenta la probabilità di successo.
Pertanto, il calcolo della distribuzione binomiale sarà-
P (x = 5) = 0,24609375
La probabilità di ottenere esattamente 5 croci in 10 lanci è 0,24609375
Nota: FALSO nella formula sopra indica la funzione di massa di probabilità. Calcola la probabilità che ci siano esattamente n successi da n prove indipendenti. TRUE denota la funzione di distribuzione cumulativa. Calcola la probabilità che ci siano al massimo x successi da n prove indipendenti.
