Bootstrap | Come costruire una curva di rendimento a cedola zero in Excel?

Che cos'è la curva di rendimento del bootstrap?

Il bootstrap è un metodo per costruire una curva dei rendimenti zero coupon. I seguenti esempi di bootstrap forniscono una panoramica di come viene costruita una curva dei rendimenti. Tuttavia, non tutte le variazioni possono essere spiegate poiché esistono molti metodi nel bootstrap a causa delle differenze nelle convenzioni utilizzate.

Primi 3 esempi di curva di rendimento di bootstrap in Excel

I seguenti sono esempi di bootstrap della curva dei rendimenti in Excel.

Puoi scaricare questo modello Excel di esempi di bootstrap qui - Modello Excel di esempi di bootstrap

Esempio 1

Considera diverse obbligazioni con un valore nominale di $ 100 con il rendimento a scadenza uguale al tasso della cedola. I dettagli del coupon sono i seguenti:

Soluzione:

Ora, per uno zero coupon con scadenza a 6 mesi, riceverà un'unica cedola equivalente al rendimento dell'obbligazione. Pertanto, il tasso a pronti per l'obbligazione zero coupon a 6 mesi sarà del 3%.

Per un'obbligazione di 1 anno, ci saranno due flussi di cassa, a 6 mesi e a 1 anno.

Il flusso di cassa a 6 mesi sarà (3,5% / 2 * 100 = $ 1,75) e il flusso di cassa a 1 anno sarà (100 + 1,75 = $ 101,75), ovvero il pagamento del capitale più il pagamento della cedola.

Dalla scadenza di 0,5 anni il tasso spot o il tasso di sconto è del 3% e supponiamo che il tasso di sconto per la scadenza di 1 anno sia x%, quindi

100 = 1,75 / (1 + 3% / 2) ^ 1 + 101,75 / (1 + x / 2) ^ 2
100-1,75 / (1 + 3% / 2) = 101,75 / (1 + x% / 2) ^ 2
98,2758 = 101,75 / (1 + x% / 2) ^ 2
(1 + x% / 2) ^ 2 = 101,75 / 98,2758
(1 + x% / 2) ^ 2 = 1,0353
1 + x% / 2 = (1,0353) ^ (1/2)
1 + x% / 2 = 1,0175
x% = (1.0175-1) * 2
x% = 3,504%

Risolvendo l'equazione precedente, otteniamo x = 3.504%

Ora, ancora una volta per una scadenza obbligazionaria di 2 anni,

100 = 3 / (1 + 3% / 2) ^ 1 + 3 / (1 + 3,504% / 2) ^ 2 + 3 / (1 + 4,526% / 2) ^ 3 + 103 / (1 + x / 2) ^ 4
100 = 2,955665025 + 2,897579405 + 2,805211867 + 103 / (1 + x / 2) ^ 4
100-8,658456297 = 103 / (1 + x / 2) ^ 4
91,3415437 = 103 / (1 + x / 2) ^ 4
(1 + x / 2) ^ 4 = 103 // 91,3415437
(1 + x / 2) ^ 4 = 1,127635858
(1 + x / 2) = 1,127635858 ^ (1/4)
(1 + x / 2) = 1,030486293
x = 1.030486293-1
x = 0,030486293 * 2
x = 6,097%

Risolvendo per x otteniamo, x = 6,097%

Allo stesso modo, per una scadenza obbligazionaria di 1,5 anni

100 = 2,25 / (1 + 3% / 2) ^ 1 + 2,25 / (1 + 3,504 / 2) ^ 2 + 102,25 / (1 + x / 2) ^ 3

Risolvendo l'equazione precedente, otteniamo x = 4,526%

Pertanto, le curve di rendimento zero bootstrap saranno:

Esempio n. 2

Consideriamo un insieme di obbligazioni zero coupon del valore nominale di $ 100, con scadenza 6 mesi, 9 mesi e 1 anno. Le obbligazioni sono zero coupon, ovvero non pagano alcuna cedola durante il mandato. I prezzi delle obbligazioni sono i seguenti:

Soluzione:

Considerando una convenzione di tasso lineare,

FV = Prezzo * (1+ r * t)

Dove r è il tasso zero coupon, t è il tempo

Pertanto, per un mandato di 6 mesi:

100 = 99 * (1 + R ₆ * 6/12)
R ₆ = (100/99 - 1) * 12/6
R ₆ = 2,0202%

Per una durata di 9 mesi:

100 = 99 * (1 + R ₉ * 6/12)
R ₉ = (100 / 98,5 - 1) * 12/9
R ₉ = 2,0305%

Per una durata di 1 anno:

100 = 97,35 * (1 + R ₁₂ * 6/12)
R ₁₂ = (100 / 97,35 - 1) * 12/12
R ₁₂ = 2,7221%

Pertanto, i tassi di rendimento zero coupon bootstrap saranno:

Si noti che la differenza tra il primo e il secondo esempio è che abbiamo considerato le tariffe zero coupon lineari nell'esempio 2 mentre sono composte nell'esempio 1.

Esempio n. 3

Sebbene questo non sia un esempio diretto di una curva dei rendimenti bootstrap, a volte è necessario trovare il tasso tra due scadenze. Considera la curva a tasso zero per le seguenti scadenze.

Ora, se uno ha bisogno del tasso zero coupon per la scadenza di 2 anni, deve interpolare linearmente i tassi zero tra 1 anno e 3 anni.

Soluzione:

Calcolo del tasso di sconto zero coupon per 2 anni -

Tasso zero coupon per 2 anni = 3,5% + (5% - 3,5%) * (2-1) / (3-1) = 3,5% + 0,75%

Tasso zero coupon per 2 anni = 4,25%

Pertanto, il tasso di sconto zero coupon da utilizzare per l'obbligazione a 2 anni sarà del 4,25%

Conclusione

Gli esempi bootstrap danno un'idea di come vengono calcolati i tassi zero per il prezzo di obbligazioni e altri prodotti finanziari. Bisogna guardare correttamente alle convenzioni di mercato per un corretto calcolo delle aliquote zero.