Cos'è la distribuzione esponenziale?
La distribuzione esponenziale si riferisce alla distribuzione di probabilità continua e costante che viene effettivamente utilizzata per modellare il periodo di tempo che una persona deve attendere prima che si verifichi un dato evento e questa distribuzione è una controparte continua di una distribuzione geometrica che è invece distinta.
Formula di distribuzione esponenziale
Si dice che una variabile casuale continua x (con parametro di scala λ> 0) abbia una distribuzione esponenziale solo se la sua funzione di densità di probabilità può essere espressa moltiplicando il parametro di scala per la funzione esponenziale di meno parametro di scala e x per tutte le x maggiori di o uguale a zero, altrimenti la funzione di densità di probabilità è uguale a zero.
Matematicamente, la funzione di densità di probabilità è rappresentata come,
tale che la media è uguale a 1 / λ e la varianza è uguale a 1 / λ2.
Calcolo della distribuzione esponenziale (passo dopo passo)
- Passaggio 1: in primo luogo, cerca di capire se l'evento in esame è di natura continua e indipendente e si verifica a una velocità approssimativamente costante. Qualsiasi evento pratico assicurerà che la variabile sia maggiore o uguale a zero.
- Passaggio 2: Successivamente, determinare il valore del parametro di scala, che è invariabilmente il reciproco della media.
- λ = 1 / media
- Passaggio 3: Successivamente, moltiplica il parametro di scala λ e la variabile x, quindi calcola la funzione esponenziale del prodotto moltiplicata per meno uno, ad esempio e– λ * x.
- Passaggio 4: Infine, la funzione di densità di probabilità viene calcolata moltiplicando la funzione esponenziale e il parametro di scala.
Se la formula sopra è vera per tutte le x maggiori o uguali a zero, allora x è una distribuzione esponenziale.
Esempio
Puoi scaricare questo modello Excel di distribuzione esponenziale qui - Modello Excel di distribuzione esponenziale
Prendiamo l'esempio, x che è il tempo (in minuti) impiegato da un collaboratore per consegnare dalla scrivania del manager alla scrivania dell'impiegato. Si assume che la funzione del tempo impiegato abbia una distribuzione esponenziale con un tempo medio pari a cinque minuti.
Dato che x è una variabile casuale continua poiché il tempo viene misurato.
Media, μ = 5 minuti
Pertanto, parametro di scala, λ = 1 / μ = 1/5 = 0,20
Quindi, la funzione di probabilità di distribuzione esponenziale può essere derivata come,
f (x) = 0,20 e– 0,20 * x
Ora, calcola la funzione di probabilità a diversi valori di x per derivare la curva di distribuzione.
Per x = 0
la funzione di probabilità di distribuzione esponenziale per x = 0 sarà,
Allo stesso modo, calcola la funzione di probabilità della distribuzione esponenziale per x = 1 ax = 30
- Per x = 0, f (0) = 0,20 e -0,20 * 0 = 0,200
- Per x = 1, f (1) = 0,20 e -0,20 * 1 = 0,164
- Per x = 2, f (2) = 0,20 e -0,20 * 2 = 0,134
- Per x = 3, f (3) = 0,20 e -0,20 * 3 = 0,110
- Per x = 4, f (4) = 0,20 e -0,20 * 4 = 0,090
- Per x = 5, f (5) = 0,20 e -0,20 * 5 = 0,074
- Per x = 6, f (6) = 0,20 e -0,20 * 6 = 0,060
- Per x = 7, f (7) = 0,20 e -0,20 * 7 = 0,049
- Per x = 8, f (8) = 0,20 e -0,20 * 8 = 0,040
- Per x = 9, f (9) = 0,20 e -0,20 * 9 = 0,033
- Per x = 10, f (10) = 0,20 e -0,20 * 10 = 0,027
- Per x = 11, f (11) = 0,20 e -0,20 * 11 = 0,022
- Per x = 12, f (12) = 0,20 e -0,20 * 12 = 0,018
- Per x = 13, f (13) = 0,20 e -0,20 * 13 = 0,015
- Per x = 14, f (14) = 0,20 e -0,20 * 14 = 0,012
- Per x = 15, f (15) = 0,20 e -0,20 * 15 = 0,010
- Per x = 16, f (16) = 0,20 e -0,20 * 16 = 0,008
- Per x = 17, f (17) = 0,20 e -0,20 * 17 = 0,007
- Per x = 18, f (18) = 0,20 e -0,20 * 18 = 0,005
- Per x = 19, f (19) = 0,20 e -0,20 * 19 = 0,004
- Per x = 20, f (20) = 0,20 e -0,20 * 20 = 0,004
- Per x = 21, f (21) = 0,20 e -0,20 * 21 = 0,003
- Per x = 22, f (22) = 0,20 e -0,20 * 22 = 0,002
- Per x = 23, f (23) = 0,20 e -0,20 * 23 = 0,002
- Per x = 24, f (24) = 0,20 e -0,20 * 24 = 0,002
- Per x = 25, f (25) = 0,20 e -0,20 * 25 = 0,001
- Per x = 26, f (26) = 0,20 e -0,20 * 26 = 0,001
- Per x = 27, f (27) = 0,20 e -0,20 * 27 = 0,001
- Per x = 28, f (28) = 0,20 e -0,20 * 28 = 0,001
- Per x = 29, f (29) = 0,20 e -0,20 * 29 = 0,001
- Per x = 30, f (30) = 0,20 e -0,20 * 30 = 0,000
Abbiamo derivato la curva di distribuzione come segue,
Rilevanza e utilizzo
Sebbene l'ipotesi di un tasso costante sia molto raramente soddisfatto negli scenari del mondo reale, se l'intervallo di tempo è selezionato in modo tale che il tasso sia approssimativamente costante, la distribuzione esponenziale può essere utilizzata come un buon modello approssimativo. Ha molte altre applicazioni nel campo della fisica, dell'idrologia, ecc.
Nella statistica e nella teoria della probabilità, l'espressione di distribuzione esponenziale si riferisce alla distribuzione di probabilità utilizzata per definire il tempo tra due eventi successivi che si verificano in modo indipendente e continuo a un tasso medio costante. È una delle distribuzioni continue ampiamente utilizzate ed è strettamente correlata alla distribuzione di Poisson in Excel.
