Formula per calcolare il punteggio Z.
Il punteggio Z dei dati grezzi si riferisce al punteggio generato misurando quante deviazioni standard sopra o sotto la media della popolazione sono i dati, il che aiuta a testare l'ipotesi in esame. In altre parole, è la distanza di un punto dati dalla media della popolazione espressa come multiplo della deviazione standard.
- Gli z-score variano nell'intervallo da -3 volte la deviazione standard (estrema sinistra della distribuzione normale) a +3 volte la deviazione standard (estrema destra della distribuzione normale).
- Gli z-score hanno una media di 0 e una deviazione standard di 1.
L'equazione per z-score di un punto di dati viene calcolata sottraendo la popolazione media dal punto dati (denominato x ) e quindi il risultato viene diviso per la deviazione standard della popolazione. Matematicamente, è rappresentato come,
Punteggio Z = (x - μ) / ơ
dove
- x = punto dati
- μ = Media
- ơ = deviazione standard
Calcolo del punteggio Z (passo dopo passo)
L'equazione per il punteggio z di un punto dati può essere derivata utilizzando i seguenti passaggi:
- Passaggio 1: in primo luogo, determinare la media del set di dati in base ai punti dati o alle osservazioni contrassegnati da x i , mentre il numero totale di punti dati nel set di dati è indicato da N.
- Passaggio 2: Successivamente, determinare la deviazione standard della popolazione sulla base della media della popolazione μ, i punti dati x i e il numero di punti dati nella popolazione N.
- Passaggio 3: infine, lo z-score viene derivato sottraendo la media dal punto dati e quindi il risultato viene diviso per la deviazione standard come mostrato di seguito.
Esempi
Puoi scaricare questo modello Excel per la formula del punteggio Z qui - Modello Excel per la formula del punteggio Z.Esempio 1
Prendiamo l'esempio di una classe di 50 studenti che hanno scritto il test di scienze la scorsa settimana. Oggi è il giorno dei risultati e l'insegnante di classe ha detto che John ha ottenuto 93 nel test mentre il punteggio medio della classe era 68. Determina il punteggio z per il punteggio del test di John se la deviazione standard è 13.
Soluzione:
Dato,
- Punteggio del test di John, x = 93
- Media, μ = 68
- Deviazione standard, ơ = 13
Pertanto, il punteggio z per il punteggio del test di John può essere calcolato utilizzando la formula sopra come,
Z = (93-68) / 13
Il punteggio Z sarà -
Punteggio Z = 1,92
Pertanto, il punteggio Ztest di John è di 1,92 deviazione standard al di sopra del punteggio medio della classe, il che significa che il 97,26% della classe (49 studenti) ha ottenuto un punteggio inferiore a John.
Esempio n. 2
Prendiamo un altro esempio dettagliato di 30 studenti (poiché lo z-test non è appropriato per meno di 30 punti dati) che sono apparsi per un test di classe. Determina il punteggio del test z per il 4 ° studente in base ai punteggi ottenuti dagli studenti su 100-55, 67, 84, 65, 59, 68, 77, 95, 88, 78, 53, 81, 73, 66 , 65, 52, 54, 83, 86, 94, 85, 72, 62, 64, 74, 82, 58, 57, 51, 91.
Soluzione:
Dato,
- x = 65,
- 4 ° studente valutato = 65,
- Numero di punti dati, N = 30.
Media = (55 + 67 + 84 + 65 + 59 + 68 + 77 + 95 + 88 + 78 + 53 + 81 + 73 + 66 + 65 + 52 + 54 + 83 + 86 + 94 + 85 + 72 + 62 + 64 + 74 + 82 + 58 + 57 + 51 + 91) / 30
Media = 71,30
Ora, la deviazione standard può essere calcolata utilizzando la formula come mostrato di seguito,
ơ = 13,44
Pertanto, il punteggio Z del 4 ° studente può essere calcolato utilizzando la formula sopra come,
Z = (x - x) / s
- Z = (65-30) / 13,44
- Z = -0,47
Pertanto, il punteggio del 4 ° studente è di 0,47 deviazione standard inferiore al punteggio medio della classe, il che significa che il 31,92% della classe (10 studenti) ha ottenuto un punteggio inferiore al 4 ° studente secondo la tabella del punteggio z.
Punteggio Z in Excel (con modello Excel)
Ora, prendiamo il caso menzionato nell'esempio 2 per illustrare il concetto di punteggio z nel modello Excel di seguito.
Di seguito vengono forniti i dati per il calcolo del punteggio Z.
È possibile fare riferimento al foglio Excel fornito di seguito per il calcolo dettagliato delle statistiche del test della formula del punteggio Z.
Rilevanza e usi
Dal punto di vista del test di ipotesi, lo z-score è un concetto molto importante da comprendere perché viene utilizzato per verificare se una statistica del test rientra o meno nell'intervallo di valori accettabili. Lo z-score viene utilizzato anche per standardizzare i dati prima dell'analisi, calcolare la probabilità di un punteggio o confrontare due o più punti di dati che provengono da distribuzioni normali diverse. Esistono diverse applicazioni dello z-score tra i campi, se applicato correttamente.
