Formula del test Z nelle statistiche | Calcolo passo passo (esempi)

Formula per calcolare il test Z nelle statistiche

Il test Z in statistica si riferisce al test di ipotesi che viene utilizzato per determinare se le due medie dei campioni calcolate sono diverse, nel caso in cui siano disponibili le deviazioni standard e il campione è grande.

Z = (x - μ) / ơ

dove x = qualsiasi valore dalla popolazione

μ = media della popolazione
ơ = deviazione standard della popolazione

Nel caso di un campione, la formula per le statistiche di valore del test z viene calcolata sottraendo la media del campione dal valore x e quindi il risultato viene diviso per la deviazione standard del campione. Matematicamente, è rappresentato come,

Z = (x - x_mean ) / s

dove

x = qualsiasi valore dal campione
x_mean = media del campione
s = deviazione standard del campione

Calcolo del test Z (passo dopo passo)

La formula per le statistiche del test z per una popolazione viene derivata utilizzando i seguenti passaggi:

Passaggio 1: in primo luogo, calcolare le medie della popolazione e la deviazione standard della popolazione in base all'osservazione catturata nella media della popolazione e ciascuna osservazione è indicata con x _i . Il numero totale di osservazioni nella popolazione è indicato da N.

Popolazione media,

Deviazione standard della popolazione,

Passaggio 2: Infine, le statistiche del test z vengono calcolate sottraendo la media della popolazione dalla variabile e quindi il risultato viene diviso per la deviazione standard della popolazione come mostrato di seguito.

Z = (x - μ) / ơ

La formula per le statistiche del test z per un campione viene derivata utilizzando i passaggi seguenti:

Passaggio 1: in primo luogo, calcolare la media e la deviazione standard del campione come sopra. Qui, il numero totale di osservazioni nel campione è indicato da n tale che n <N.

Campione medio,

Deviazione standard del campione,

Passaggio 2: Infine, le statistiche del test z vengono calcolate sottraendo la media del campione dal valore x e quindi il risultato viene diviso per la deviazione standard del campione come mostrato di seguito.

Z = (x - x_mean ) / s

Esempi

Puoi scaricare questo modello Excel della formula del test Z qui - Modello Excel della formula del test Z

Esempio 1

Supponiamo che una popolazione di studenti di una scuola sia apparsa per un test di classe. Il punteggio medio nel test è 75 e la deviazione standard è 15. Determina il punteggio z-test di David che ha ottenuto 90 nel test.

Dato,

La media della popolazione, μ = 75
Deviazione standard della popolazione, ơ = 15

Pertanto, le statistiche del test z possono essere calcolate come,

Z = (90-75) / 15

Le statistiche del test Z saranno:

Z = 1

Pertanto, il punteggio del test di David è una deviazione standard al di sopra del punteggio medio della popolazione, ovvero, secondo la tabella del punteggio z, l'84,13% degli studenti ha un punteggio inferiore rispetto a David.

Esempio n. 2

Prendiamo l'esempio di 30 studenti che sono stati selezionati come parte di un team campione per essere intervistati per vedere quante matite venivano usate in una settimana. Determina il punteggio del test z per il terzo studente in base alle risposte fornite: 3, 2, 5, 6, 4, 7, 4, 3, 3, 8, 3, 1, 3, 6, 5, 2, 4 , 3, 6, 4, 5, 2, 2, 4, 4, 2, 8, 3, 6, 7.

Dato,

x = 5, poiché la risposta del terzo studente è 5
Dimensione del campione, n = 30

Media campione, = (3 + 2 + 5 + 6 + 4 + 7 + 4 + 3 + 3 + 8 + 3 + 1 + 3 + 6 + 5 + 2 + 4 + 3 + 6 + 4 + 5 + 2 + 2 + 4 + 4 + 2 + 8 + 3 + 6 + 7) / 30

Media = 4,17

Ora, la deviazione standard del campione può essere calcolata utilizzando la formula sopra.

ơ = 1,90

Pertanto, il punteggio del test z per il terzo studente può essere calcolato come,

Z = (x - x) / s

Z = (5 –17) / 1,90
Z = 0,44

Pertanto, l'utilizzo del terzo studente è 0,44 volte la deviazione standard al di sopra dell'utilizzo medio del campione, ovvero secondo la tabella del punteggio z, il 67% degli studenti usa meno matite rispetto al terzo studente.

Esempio n. 3

Di seguito vengono forniti i dati per il calcolo delle statistiche del test Z.

È possibile fare riferimento al foglio Excel fornito di seguito per il calcolo dettagliato delle statistiche del test Z.

Rilevanza e usi

È molto importante comprendere il concetto di statistica z-test perché di solito viene utilizzato ogni volta che è discutibile se una statistica test segue o meno una distribuzione normale sotto l'ipotesi nulla in questione. Tuttavia, si dovrebbe tenere presente che un test z viene utilizzato solo quando la dimensione del campione è maggiore di 30, altrimenti viene utilizzato il test t.